قواعد الأس ما هي من حيث المفهوم الرياضي وامثلة تطبيقه توضيحية الإجابة ( بالتفصيل )

تمثل قواعد الأس أهمية بالغة في علم الرياضيات، فهي جزء رئيسي من العلم وهناك الكثير من العمليات التي نقوم بها على الأسس من الضرب والجمع والقسمة وكذلك اللوغاريتمات، كما أنه يوجد العديد من الأنواع من الأسس، وكل هذا سنتطرق إليه في السطور القادمة.

ما هي قواعد الأس في الرياضة مع أنواع القواعد؟

هناك العديد من قواعد الأس التي يقوم عليها وتندرج في كل مما يلي:

• عندما تكون بضرب أساسين متشابهين لهما قواعد مختلفة، فمن الممكن أن نقوم بإضافة الأس مع الاحتفاظ بالأساس.
• عند القسمة للقاعدتين المتماثلتين والتي لها قاعدتين مختلفتين، فيتم طرح الأس من أس المقام، وتظل قاعدة الأس كما هي.
• في حالة الضرب، يتم ضرب القاعدتين المختلفتين التي لها نفس الأس، ويتم حينها توزيع الأس عليهما.
• الأس السالب، يتم في هذه الحالة جعل الأس موجب من خلال عكس إشارة الرقم.
• الأساسات المتشابهة والتي لها أسس متساوية، يتم ضرب تلك الأسس مع بعضها البعض.
• القوة الصفرية يكون قيمة الأس لها يساوي “1”.
• القسمة لقاعدتين يختلفان في القيمة ويتشابهان في الأس، فالأس يتم توزيعه بين المقام والبسط.

ما هو مفهوم التوضيحي لأسس في الرياضيات؟

يُعتبر الأس هو عبارة عن التعبير الرياضي الذي يوضح عدد المرات التي تم ضرب العدد أو القاعدة في نفسها، ويُعرف بالإنجليزية بـ “Exponent”، والأس يتكون من عددين، أولهما هو القاعدة “Base” أو الأساس، والثاني هو القوة أو الأس، حيث أن القاعدة تكتب على السطر، والأس يكتب عليها من الأعلى بخط صغير، ويشير إلى عدد مرات الضرب للقاعدة في نفسها.

كيف يتم حساب قيمة الأس في القواعد الرياضة؟

من خلال بعض العمليات الحسابية يمكنك احتساب الأسس، وتختلف عمليات القسمة والضرب والجمع والطرح في الأسس عن تلك التي في العمليات البسيطة، ويتم احتسابها كالآتي:

من عمليات الجمع والطرح في الأسس التوضيحية :

هناك شرطًا أساسيًا حتى نتمكن من طرح وجمع الأسس وتكون العملية صحيحة، وهي أنه يجب أن تكون القاعدة متساوية والأسس أيضًا متساوية، ومن الأمثلة على عملية الجمع ما يلي:

مثال1:

(4 × س²) + (2 × س²)

الجواب:

• هناك متغير واحد في المسألة وهو “س” وهو نفس المتغير في القوسين.
• كما أن هناك أس واحد في كل من الأقواس وهو الأس “2”.
• عند جمع القيمة فيصبح 4س² + 2س² = 6س².

مثال2:

(6 * ص²) + (4 * ص⁴).

الجواب:

• نظرًا لأن الأساسات متشابهة ولكن الأسس مختلفة فلا يجوز الجمع على هذه الحالة.
• وبالتالي علينا أن نقوم بتبسيط المسألة حتى نحصل على أساسات متساوية وعند عدم الاستطاعة فلن يتم الجمع.

أما بالنسبة إلى عملية الطرح، فهي أيضًا تتم على أساسات وأسس متساوية، ومن الأمثلة عليها كل مما يلي:

مثال 1:

(10 * ص³) – (7 * ص³)؟

الجواب:

• نجد في هذه المسألة أن الأسس في القوسين متساوية وكذلك الأساسات.
• وبالتالي ناتج عملية الطرح هي 10ص³ – 7ص³ = 3ص³.

مثال 2:

(5 * س⁴) – (10 * س²)؟

الجواب:

لا يجوز نهائيًا طرح الأسس في العملية السابقة وليست هناك نتيجة طالما القاعدة مجهولة والأسس غير متساوية.

عملية الضرب في الأسس

هناك شرطًا أساسيًا حتى تتم عملية ضرب الأسس وهي أنه لابد وأن يكون الأساس متساوي في العددين وفي هذه الحالة يتم جمع الأسس ومثال عليها:

مثال:

(10 × س²) × (10 × س⁴)؟

الجواب:

من الواضح أن الأساسين متساويين وبالتالي يمكننا ضرب القوسين وينتج من العملية الناتج 100س⁶.

ما هي عملية القسمة في الأسس مع شروطها

نأتي إلى العملية الحسابية الرابعة وهي عملية قسمة الأسس، ومن الشروط الرئيسية هي أن يكون الأساس متساوي، ويتم فيها طرح الأسس في حالة تساوي القاعدتين ومن الأمثلة عليها ما يلي:

مثال:

(24 × ص⁸) / (6 × ص³)؟

الجواب:

• نأخذ المعاملات مع بعضها البعض ونقوم بقسمتهما والناتج هو 24\6 = 4.
• ثم نقسم الأساسات ونطرح الأسس والناتج هو ص⁵.
• وبذلك يكون الناتج النهائي هو 4ص⁵.

شرح قوانين وقواعد الأسس بالرياضات

وبعد أن تعرفنا على قواعد الأسس والعمليات الحسابية التي يمكن أن نقوم بها عليها، يمكننا الآن شرح قوانين الأسس والقوة في مصطلحها وأنواعها ومنها:

1. ما هي القوة الصفرية

وهي القوة التي يكون أس العنصر صفر وتساوي 1، ومثال عليها س^0 = 1 أو 2^0 = 1.

2. القوة في 1

أي أساس مرفوع للأس واحد هو نفسه، حيث أنه يكون مضروبًا في نفسه مرة واحدة، والمثال هو س^1 = س أو 5^1 = 5.

3. ماذا عن مضاعفة القوة بنفس الأساس

ينتج عن حاصل ضرب الأساسات المتساوية أسس متساوية، ويتم في الضرب جمع الأسس ومثال على ذلك 2^4 * 2^5 والناتج هو 2^9، حيث أننا بذلك قمنا بتثبيت القاعدة وجمعنا الأسس.

4. ماذا عن قسمة الأسس ذات الأساسيات المتساوية

عندما يكون الأساس متساوي في عملية القسمة، فعلينا بطرح الأسس من بعضها البعض، والمثال عليها 3^3 \^1 وينتج من هذه العملية القيمة 3^2 والتي تساوي 9.

5. مضاعفة القوى ذات الأس المتساوي في الرياضات

حيث أنه لدينا قوتين مختلفتين، والأسس متساوية ، فإن حاصل الضرب يكون هو نفسه الأس.

6. قسمة الصلاحيات ذات الأساسات المتساوية

الناتج من حاصل قسمة قوتين مختلفتين ولديهما نفس القيمة الأسية، فينتج أسس مرفوع لنفس الأس.

7. قوة القوة للأس

عندما تكون القوة هي قوة لقوة أخرى ولكن الأساس متساوي وله أس سواء كان مختلف أو متساوي، فإن الناتج هو ضرب الأسس لنفس القاعدة أو الأساس.

ما هي الحالات التي يكون عليها الأس مع ذكر الحالات

توجد العديد من الحالات التي يكون عليها الأس، ومن بينها كل مما يلي:

أس موجب

هو الأساس الذي تكون إشارة الأس له موجبة، حيث أن الأس 2 هو أس موجب الناتج يكون موجبًا مهما إذا كانت الأس زوجي فقط.

أس سالب

بينما الأس السالب هو أن تكون قيمة الأس سالبة، ويتم حل الأسس السالبة من خلال مفهوم اللوغاريتمات أو أخذ الجذور التربيعية للطرفين وإنزال الأسس كمعاملات.

أس عشري

بينما الأسس العشرية هي التي يكون فيها قيمة الأس رقم عشري مثل 7².⁴.

أس كسري

أما الأس الكسري هو الذي تكون القاعدة أسها على هيئة كسر مثل :3⁽¹ᐟ²⁾.

أس صفري

النوع الأخير من الأسس هو الأس الصفري، وهو أشهر أنواع الأسس وقيمته دائمًا تساوي الرقم 1، ومثال عليه 7⁰= 1.

أقرأ أيضاً… في الشكل أدناه قيمة X تساوي اليك الإجابة الصحيحة ( بالتفصيل )

ما معنى قيمة الأس صفر في المفهوم الرياضي؟

نظرًا لأهمية الأس الصفري وضرورة وجوده في بعض العمليات، فسنقوم بتوضيح معناه مع أبرز الأمثلة عليه وتأثيره في العملية الحسابية والمعادلات حيث:

المثال على الأس الصفري:

• نفترض أنه لدينا القيمة 4^0 = 1 و 6^0 =1، ويتساءل البعض حول سبب أن الأس الصفري قيمته دائمًا تساوي الرقم 1 بغض النظر عن قيمة الأساسات أو القاعدة، حيث:
• فعلى سبيل المثال قيمة العملية 2^5/2^3 = 2*2*2*2*2/2*2*2، عندما نقوم بتطبيق كل العمليات الحسابية عليها من الضرب والقسمة، فالنتيجة تكون 2^2.
• والعملية 2^5/2^3 هي عملية قسمة بأساسات متساوية وأسس مختلفة، فنقوم بطرح الأسس من بعضها لينتج 2^2.
• نقوم بعد ذلك بتطبيق القاعدة التي تنص على أي قاعدة أساسها صفري تكون قيمتها واحد، على سبيل المثال 2^0 = 2\2 والتي تساوي 2^1/2^1 = 1، وبالتالي نكون أوضحنا مفهوم القاعدة ومن أين أتت.

أقرأ أيضاً… ٥ ٤ تساوي… ( الإجابة الصحيحة ) بالتفصيل هي :

الرقم صفر مرفوع للأس صفر

اختلف البعض حول تحديد قيمة العدد صفر الذي لديه الأس الصفري، حيث أن البعض قال بأن القيمة تساوي “1” والذي يقول بأن قيمته غير محددة والبعض الآخر رجّح بأنها تساوي “0” نظرًا لقاعدة الأس الصفري قيمة معادلته صفرًا، وأكد العلماء بأن هذه القاعدة تسري على جميع الأرقام بما فيهم الرقم صفر وليس هناك أي استثناءات، وبالتالي تكون قيمته صفر.

أقرأ أيضاً… في الشكل أدناه يساوي… تعرف علي ( الإجابة الصحيحة ) بالتفصيل

في أي شيء يمكننا الاستفادة من الأسس؟

لا تقتصر الأسس في استخدامها على المعادلات الرياضية والعمليات الحسابية فقط، وإنما لها أهمية في حياتنا أيضًا، فمن خلالها يمكننا أن نعبر عن المسافات الطويلة سواء في الفضاء بين الأجرام السماوية أو التي تقوم القطارات والسيارات والطائرات بقطعها، فهي تختصر العمليات بدلًا من أن تكون عبارة عن سطر طويل جدًا وبالتالي سهلت الحسابات الحياتية التي نحتاج إليها في حياتنا اليومية الطبيعية.

وبذلك نكون وصلنا إلى نهاية موضوع اليوم حول قواعد الأسس وأنواعها وكيفية احتسابها واستخدامها في العمليات الحسابية المتنوعة.